FPSの計測を自前で書くことはいろいろなメリットがあります。
アプリをインストールするだけでFPSを測れることになると、チェックに必要なものが端末だけになるので 便利です。しかしながら、処理を作らなければならないという意味で手間がかかります。
UnityにはProfilerというパフォーマンスを計測するための機能があります。実はこれを使うと端末で実行中のゲームのパフォーマンスが測れます。
Android以外の場合も計測できますが、ここではAndroidだけ説明します。
ゲームをビルドするときにデバッグできるように設定します。
Build Settingsを開いたときに以下のようにDevelopment Buildを選択します。
すぐに計測したい場合はAutoconnect Profilerも選択します。（ゲームのインストールが終わると自動でProfilerを開くようになります）
Build And Runを押してビルドと端末へのインストールを行います。
端末でゲームが起動したら、Unity側でProfilerを開きます。Profilerの上部メニューのActive Profilerを押して計測したい端末を選択します。ここでは3番目に出ているNexus 7を選択します。（私の場合です）
選択後計測がリアルタイムで行われていきます。Wi-Fiでつないでいるようなので、Unityから認識されてからはUSBケーブルを外しても大丈夫でした。
確実に使うためにはBuild SettingsでDevelopment BuildとAutoconnect Profileを選択し、Build And Runを行うのが良いです。自動で計測開始してくれるのでミスが起こらないと思います。USBケーブルもつけっぱなしにしておいてください。
公式ページにも情報がありますので参照ください。